В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно:   а) 0,5;   б) 0,49;   в) 0,34;   г) ⅓.   Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?

   Решение

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть X — центр гомотетии (с положительным коэффициентом), переводящей вписанную окружность треугольника ABC в описанную окружность. Прямая AX пересекает вписанную окружность в точках A' и A'', одна из которых (для определенности A'') при указанной гомотетии переходит в точку A, а другая — в некоторую точку A₂, лежащую на описанной окружности.
Рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую A' в A₂. При этой гомотетии центр вписанной окружности переходит в точку, лежащую на отрезке OA₂. Это означает, что вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности в точке A₂. Следовательно, A₂ = A₁. Поэтому прямые AA₁, BB₁ и CC₁ проходят через точку X.

Источники и прецеденты использования