Пусть a и b — целые числа. Напишем число b справа от числа a. Если число a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число a₁ напишем под числом a. Справа от числа a₁ напишем число 2b. С числом a₁ проделаем ту же операцию, что и с числом a, и, получив число a₂, напишем его под числом a₁. Справа от числа a₂ напишем число 4b и так далее. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1. Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные числа, равна произведению ab.

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть , — рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи 31.071. Докажите, что степень каждого из многочленов A, P, Q не превосходит 2.

Решение

Для многочлена A(t) = ct² + a это видно непосредственно. Для каждого фиксированного прямая x = пересекает конику не более чем в двух точках, поэтому уравнение P(t) = A(t) имеет не более двух корней. Следовательно, степень многочлена P не превосходит 2. Для многочлена Q доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования