Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

   Решение

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть  a₀, a₁, ..., a_n, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T   a_n+T = a_n  (n ≥ 0).  Докажите, что
  а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
  б) T делится на t.

Решение

а) В любом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент.

б) Пусть t – наименьший период и  T = tq + r,  где  0 < r < t.  Тогда  a_n+r = a_n+T–tq = a_n+T = a_n  для любого n, то есть r – тоже период. Противоречие.

Источники и прецеденты использования