В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9 Название задачи: Числа Мерсенна.

Прислать комментарий

Условие

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

Решение

Если  a > 2,  то  aⁿ – 1  делится на  a – 1 > 1.  Если  a = 2,  а  n = km  – составное, то  aⁿ – 1  делится на  2^m – 1.

Источники и прецеденты использования