Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из восьми оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?
|
|
 |
Условие
Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)
Решение
Оценка. Будем считать, что одна из сторон листа вертикальна. Вдоль каждой вертикальной "стороны" одной из дырок проведём вертикальный разрез до "упора" в горизонтальную сторону соседней дырки или в край листа. Повторим эту процедуру для всех дырок (рис. слева). После этого лист "распадётся" на некоторое количество m прямоугольников (действительно, у полученных частей все углы прямые).
У каждого прямоугольника четыре угла, значит, общее число углов всех прямоугольников равно 4m. С другой стороны, к четырём углам исходного листа каждый из 2n разрезов добавляет не более шести прямых углов (см. рис. слева, некоторые углы, образованные каким-то разрезом, могут совпадать с углами, образованными другими разрезами), поэтому число углов не превосходит 12n + 4.
Таким образом, 4m ≤ 12n + 4, то есть m ≤ 3n + 1.
Ответ
На 3n + 1 часть.
Замечания
9 баллов
