Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отмечены точки M и N так, что  AM = CN  и  BM = DN,  а четырёхугольники AMND и BMNC – вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Cерединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает прямые $BC$, $AB$ в точках $A_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Точки $O$, $O_{1}$ – центры описанных окружностей треугольников $ABC$ и $A_{1}BC_{1}$ соответственно. Докажите, что $C_{1}O_1\perp AO$.

Решение

Рассмотрим случай остроугольного треугольника $ABC$, остальные случаи аналогичны. Так как $$\angle AOC=2\angle ABC=2(180^{\circ}-\angle A_1BC_1)=\angle A_1O_1C_1,$$ треугольники $AOC$ и $C_1O_1A_1$ подобны и одинаково ориентированы (см. рис.). Так как их соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$ перпендикулярны, $AO$ и $C_1O_1$ также перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования