Версия для печати
Убрать все задачи

---

На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Перестройки ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

Подсказка

Подумайте, какие кубики можно поставить в центр пирамиды, какие  — в вершины.

Решение

Заметим следующее: кубик, стоящий в центре, соприкасается с шестью кубиками; кубики, стоящие в вершинах,  — с двумя; а кубики, стоящие на сторонах треугольника,  — с четырьмя. Отсюда сразу можно заключить, что при новой перекладке кубик из центра может попасть только в вершину, а в центр, наоборот,  — только из вершины. Для определённости, пусть в центр попадёт кубик 1, а кубик 5  — в верхнюю вершину. Тогда на место кубиков 2 и 3 могут лечь только кубики 7 и 10, поскольку остальные кубики уже соприкасались с кубиком 5 (рис. 1). В нижние вершины должны лечь кубики 2 и 3. Расположение остальных кубиков определим перебором. Окончательный вариант показан на рис. 2.

Заметим, что уже имея одно решение, можжно получить ещё несколько. Вопервых, пирамиду можно поворачивать на 120^o, что даст ещё два решения. Вовторых, её можно симметрично отражать относительно медианы верхней вершины  — при этом число решений удваивается. Кроме того, напомним, что в самом начале в качестве центрального кубика мы взяли 1, хотя могли взять 1, 7 или 10, и это даст утроение общего количества ответов. Таким образом, из приведённого на рис. 2 решения можно получить ещё 17.

Ответ

 См. рисунок справа.

Источники и прецеденты использования