Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.
Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Две хоккейные команды одинаковой силы договорились, что будут играть до тех пор, пока суммарный счёт не достигнет 10.
Найдите математическое ожидание числа моментов, когда наступала ничья.

Решение

  Если 2n – максимальный суммарный счёт, то игру можно рассматривать как случайное блуждание длины 2n: на каждом шаге разрыв в счете либо увеличивается на единицу, либо уменьшается на единицу.
  Пусть I_2k – индикатор ничьей на 2k-м шаге:  
  Случайная величина X "число моментов, когда наступала ничья" равна сумме всех индикаторов. Начало игры не будем считать "наступлением ничьей". Следовательно,  X = I₂ + I₄ + ... + I_2n,  а  
  При  n = 5  получаем  EX = ²/₄ + ⁶/₁₆ + ²⁰/₆₄ + ⁷⁰/₂₅₆ + ²⁵²/₂₀₄₈ ≈ 1,707.

Ответ

≈ 1,707.

Источники и прецеденты использования