Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.
Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами (p, q).
|
|
 |
Условие
Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.
Решение
Рассмотрим треугольник, наименьший (по площади) среди треугольников с вершинами трёх разных цветов. Внутри него нет окрашенных точек (если бы такая была, то, соединив её с вершинами двух других цветов, мы получили бы меньший треугольник). Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 3-го цветов.
Теперь рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершину 4-го цвета. Пусть это оказался треугольник с вершинами 1-го, 2-го и 4-го цветов. Внутри него не может быть точек этих трёх цветов. Но и точки 3-го цвета быть не может: соединив её с вершинами 1-го и 4-го цветов, мы бы получили меньший по площади треугольник с вершиной 4-го цвета.
Наконец рассмотрим наименьший "разноцветный" треугольник, имеющий вершины
3-го и 4-го цветов. Аналогично показываем, что и внутри него нет окрашенных точек.
Замечания
6 баллов
