Из набора гирь весом 1, 2, ..., 26 выделить шесть гирь так, чтобы среди них не было выбрать двух кучек равного веса.
Доказать, что нельзя выбрать семь гирь, обладающих тем же свойством.

   Решение

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60^o.

Решение

Обозначим угловую величину дуги, высекаемой сторонами данного правильного треугольника ABC, через . Будем предполагать, что окружность касается стороны BC. Рассмотрим дугу, высекаемую продолжениями сторон треугольника ABC на окружности, и обозначим её угловую величину через . Тогда ( + )/2 = BAC = 60^o. Но = , так как эти дуги симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности параллельно стороне BC. Поэтому = = 60^o.

Источники и прецеденты использования