Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?

   Решение

Тема:    [ Системы точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано n точек, причем из любой четверки этих точек можно выбросить одну точку так, что оставшиеся точки будут лежать на одной прямой. Докажите, что из данных точек можно выбросить одну точку так, что все оставшиеся точки будут лежать на одной прямой.

Решение

Можно считать, что n4 и не все точки лежат на одной прямой. Тогда можно выбрать четыре точки A, B, C и D, не лежащие на одной прямой. По условию три из них лежат на одной прямой. Пусть для определенности точки A, B и C лежат на прямой l, а D не лежит на l. Нужно доказать, что все точки, кроме D, лежат на прямой l. Предположим, что точка E не принадлежит l. Рассмотрим четверку точек A, B, D, E. Тройки точек A, B, D и A, B, E не лежат на одной прямой. Поэтому на одной прямой лежит либо тройка точек A, D, E, либо тройка точек B, D, E. Пусть для определенности на одной прямой лежат точки A, D и E. Тогда никакие три из точек B, C, D, E не лежат на одной прямой. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования