Докажите, что  a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0,  если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию  p + q + r = 0.

   Решение

Темы:    [ Построения одной линейкой ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.

Решение

Построим точку $C_1$ пересечения касательных к окружности в точках $A$, $B$ и вторую точку $C_2$ пересечения окружности с прямой $CI$. Прямая $C_1C_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и, следовательно, проходит через центр описанной окружности. Построив аналогично серединный перпендикуляр к отрезку $AC$, найдем центр.

Источники и прецеденты использования