С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

   Решение

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60^o.

Решение

Обозначим угловую величину дуги, высекаемой сторонами данного правильного треугольника ABC, через . Будем предполагать, что окружность касается стороны BC. Рассмотрим дугу, высекаемую продолжениями сторон треугольника ABC на окружности, и обозначим её угловую величину через . Тогда ( + )/2 = BAC = 60^o. Но = , так как эти дуги симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности параллельно стороне BC. Поэтому = = 60^o.

Источники и прецеденты использования