На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ выпуклого семиугольника A₁...A₇. Одна из диагоналей A₃A₇ и A₃A₆, для определенности диагональ A₃A₆, не проходит через точку P. Точек пересечения диагоналей шестиугольника A₁...A₆ конечное число, поэтому вблизи точки A₇ можно выбрать такую точку A₇', что прямые A₁A₇',..., A₆A₇' не проходят через эти точки, т. е. семиугольник A₁...A₇' неособый.

Источники и прецеденты использования