Информация о задаче

Задача 78589

Тема:

[

Ограниченность, монотонность

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

При каком значении K величина A_k = ${\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$ максимальна?

Решение

Ответ: При k = 65. Обозначим B_k = ${\dfrac{19^k}{k!}}$ , C_k = ${\dfrac{66^k}{k!}}$ . Тогда A_k = B_k + C_k, ${\dfrac{B_{k+1}}{B_k}}$ = ${\dfrac{19}{k+1}}$ , ${\dfrac{C_{k+1}}{C_k}}$ = ${\dfrac{66}{k+1}}$ . Следовательно, при k $\le$ 19 обе последовательности не убывают, а при k $\ge$ 65 обе последовательности не возрастают, т. е. максимальное значение достигается при некотором k $\in$ [19, 65]. Заметим, что при k $\in$ [19, 64] выполняются неравенства ${\frac{C_{k+1}}{C_k}}$ $\ge$ ${\frac{66}{65}}$ и ${\frac{B_k}{C_k}}$ = $\left(\vphantom{ \frac{19}{66} }\right.$ ${\frac{19}{66}}$ $\left.\vphantom{ \frac{19}{66} }\right)^{k}_{}$ < $\left(\vphantom{ \frac{1}{3} }\right.$ ${\frac{1}{3}}$ $\left.\vphantom{ \frac{1}{3} }\right)^{19}_{}$ < ${\frac{1}{65}}$ . Следовательно,

A_{k + 1} - A_k = C_{k + 1} - C_k + B_{k + 1} - B_k $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{65}}$ C_k - B_k > 0,

т. е. при k $\in$ [19, 65] последовательность A_k возрастает. Следовательно, величина A_k максимальна при k = 65.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	29
Год	1966
вариант
	1
Класс	9,10,11
Тур	1
задача
Номер	2