Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.

Решение

Пусть аbсd. Покажем прежде всего, что можно построить треугольник со сторонами а - d, b, с. Для этого необходимо, чтобы выполнялись неравенства

Неравенство (1) равносильно неравенству

которое выполнено, так как а, b, с, d — стороны четырёхугольника (в многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех остальных). Так как bа, с - d 0 (в силу наших предположений о числах а, b, с, d), то выполнено и неравенство (2). Аналогично, неравенство (3) следует из того, что са, b - d 0. Построив теперь треугольник со сторонами a - d, b, с, мы легко достроим его до трапеции со сторонами а, b, с, d: нужно продолжить сторону а - d на отрезок d (в любую сторону, например, за конец стороны с) и на отрезках c, d построить параллелограмм.

Источники и прецеденты использования