Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числитель и знаменатель дроби – натуральные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит ⅓.
Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

   Решение

---

Учитель продиктовал классу задание, которое каждый ученик выполнил в своей тетради. Вот это задание:

  Нарисуйте две концентрические окружности радиусов 1 и 10. К малой окружности проведите три касательные так, чтобы их точки пересечения A, B и C лежали внутри большой окружности. Измерьте площадь S треугольника ABC и площади S_A, S_B и S_C трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках A, B и C. Найдите  S_A + S_B + S_C – S.

Докажите, что у всех учеников (если они правильно выполнили задание) получились одинаковые результаты.

   Решение

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Замена переменных ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  0 < a, b < 1,  то  

.

Решение

Пусть  ab = u²,  a + b = v.  Учитывая, что  v ≥ 2u  (неравенство Коши), получаем

  так как  ^u/_u+1 < ½  ⇔  u = 1.

Источники и прецеденты использования