Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т.д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.

   Решение

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

Решение 1

Можно считать, что вершина первой параболы – точка  (0, 0).  Пусть вершина второй –  (a, b).  Тогда уравнения парабол:  y = px²  и  y = q(x – a)² + b,  причём  b = pa²  и  0 = qa² + b.  Отсюда  (p + q)a² = 0.  Если  a = 0,  то и  b = 0,  а вершины различны. Поэтому  p + q = 0.

Решение 2

Пусть A и B – вершины парабол. Рассмотрим третью параболу, симметричную первой относительно середины отрезка AB. Она имеет вершину B и содержит точку A. Поскольку парабола однозначно определяется своей вершиной и ещё одной точкой, третья парабола совпадает со второй. Значит, старшие коэффициенты исходных парабол отличаются только знаком.

Ответ

0.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования