В вершинах n-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что   a) n чётно;   б) n делится на 4.

   Решение

Темы:    [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

Решение

Пусть выбиты зубья A₁, A₂, A₃, A₄. Будем поворочивать верхнюю шестеренку относительно нижней. Помимо исходного положения есть еще 13 положений верхней шестеренки, когда из зубья совмещаются. Из них плохими являются не более 12 (когда зубец A_i верхней шестеренки совмещается с зубцом A_j нижней,  i ≠ j).  Значит, имеется и хорошее положение.

Источники и прецеденты использования