В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

   Решение

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Четность и нечетность ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что график многочлена
  а)  x³ + px;   б)  x³ + px + q;   в)  ax³ + bx² + cx + d
имеет центр симметрии.

Решение

  а) Это следует из нечётности функции  x³ + px.

  б) При сдвиге графика  y = x³ + px  на q вверх центр симметрии сдвинется на ту же величину.

  в) Из задачи 61253 следует, что график  y = ax³ + bx² + cx + d  получается из графика вида  y = x³ + px + q  сдвигом вдоль оси абсцисс. Соответственно сдвинется и центр симметрии.

Источники и прецеденты использования