Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

   Решение

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Надите радиус сферы описанной около пирамиды.

   Решение

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?

Подсказка

Рассмотрите "вытянутый по горизонтали" и "вытянутый по вертикали" треугольники.

Решение

Зафиксируем некоторую окружность радиуса r и будем рассматривать равнобедренные треугольники, описанные около этой окружности. Такие треугольники однозначно задаются длиной высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника. Длина этой высоты может принимать любые значение из интервала от 2r до бесконечности, причем длина боковой стороны треугольника непрерывно зависит от длины высоты. Если высота, опущенная на основание треугольника, достаточно велика, то достаточно велика и боковая сторона. Если высота достаточно мала (т.е. она "чуть больше", чем 2r), то боковая сторона также достаточно велика. Поэтому если непрерывно изменять значение высоты от 2r до бесконечности, то фиксированное достаточно большое значение длины боковой стороны будет достигаться при двух разных значениях длины высоты.

Ответ

не обязательно.

Источники и прецеденты использования