Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.
Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?

   Решение

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AC треугольника ABC произвольно выбрана точка D. Касательная, проведённая в точке D к описанной окружности треугольника BDC, пересекает сторону AB в точке C₁; аналогично определяется точка A₁. Докажите, что  A₁C₁ || AC.

Решение

Из условия следует, что  ∠C₁DA = ∠DBC  и  ∠A₁DC = ∠DBA  (см. рис.). Следовательно, четырёхугольник A₁BC₁D – вписанный, то есть
∠C₁A₁D = ∠C₁BD = ∠CDA₁.

Источники и прецеденты использования