Задача 102726

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин B и C до этой прямой равны a и b соответственно. Найдите расстояние от вершины A до этой прямой.

Подсказка

Рассмотрите проекции точек B, A, C и середины стороны BC на данную прямую.

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC; K — середина стороны BC; E, P, Q и F — проекции точек соответственно B, A, K и C на данную прямую. Поскольку AK — медиана треугольника ABC, а M — точка пересечения медиан этого треугольника, то AM : MK = 2 : 1.

KQ — средняя линия прямоугольной трапеции BEFC (или прямоугольника, если b = c). Поэтому

KQ = = .

Из подобия прямоугольных треугольников KQM и APM следует, что

AP = KQ ^. = ^. 2 = b + c.

Ответ

b + c.