Информация о задаче

Задача 102727

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60^o. Найдите периметр трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную одной из диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данная трапеция, BC = 3 и AD = 5 — её основания, AC = 8 — данная диагональ, O — точка пересечения диагоналей. Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD в точке E. Тогда BCED — параллелограмм,

DE = BC = 3, AE = AD + DE = AD + BC = 3 + 5 = 8 = AC.

Поэтому треугольник CAE — равнобедренный. Значит,

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \angle$ AOD.

Заметим, что угол AOD не может быть тупым, т.к. он равен углу ACE при основании равнобедренного треугольника. Поэтому $\angle$ AOD = 60^o. Следовательно, треугольник ACE — равносторонний, а значит, CE = 8.

Поскольку диагонали AC и BD трапеции ABCD равны, то она равнобедренная. По теореме косинусов из треугольника CED находим, что

CD² = CE² + DE² - 2^.CE^.DE cos 60^o = 64 + 9 - 2^.8^.3 $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 47.

Поэтому CD = 7. Следовательно, периметр трапеции равен 3 + 5 + 7 + 7 = 22.

Ответ

22.