ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 102734
УсловиеПусть S' — окружность, гомотетичная с коэффициентом вписанной окружности s треугольника относительно точки Нагеля, а S — окружность, гомотетичная окружности s с коэффициентом - относительно точки пересечения медиан. Докажите, что: а) окружности S и S' совпадают; б) окружность S касается средних линий треугольника; в) окружность S' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.
РешениеРассмотрим треугольник ABC. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB соответственно, A2, B2, C2 — точки касания вневписанных окружностей треугольника с этими сторонами, K — точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AC, P — точка касания вписанной окружности со стороной BC, Q — центр вписанной окружности, M — точка пересечения медиан, p — полупериметр треугольника, N — точка Нагеля. Поскольку BP = p - AC = p - b и CA2 = CK = AK - AC = p - b, то BP = CA2. Поэтому середина A1 стороны BC является также серединой отрезка PA2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, переводящую вневписанную окружность, касающуюся стороны BC, во вписанную окружность треугольника ABC. При этой гомотетии точка A2 переходит в точку E лежащую на отрезке AA2 и на вписанной окружности треугольника ABC, причём касательная к этой окружности, проведённая в точке E, параллельна стороне BC. Поэтому точки E, Q и P лежат на одной прямой, причём Q — середина PE. Поскольку Q и A1 — середины сторон треугольника A2PE, то отрезок A1Q — средняя линия этого треугольника. Поэтому A1QAA2. Аналогично докажем, что B1QBB2 и C1QCC2. Тогда при гомотетии с центром M и коэффициентом - точка A переходит в точку A1, луч AA2 — в луч A1Q, точка B — в точку B1, луч BB2 — в луч B1Q, точка C — в точку C1, луч CC2 — в луч C1Q. Точка N пересечения прямых AA2, BB2, CC2) переходит в точку пересечения прямых A1Q, B1Q, C1Q, т.е. в центр Q вписанной окружности s треугольника ABC. Значит, точка M лежит на отрезке QN и MN = 2MQ. При этом окружность s переходит во вписанную окружность S треугольника A1B1C1, При гомотетии с центром N и коэффициентом точки A, B, C переходят соответственно в середины A', B', C' отрезков NA, NB, NC, а вписанная окружность s треугольника ABC — во вписанную окружность S' треугольника A'B'C'. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что треугольники A1B1C1 и A'B'C' равны. Значит, равны и радиусы вписанных окружностей S и S' этих треугольников. Осталось доказать, что эти окружности S и S' имеют общий центр. Центр Q2 вписанной окружности треугольника A'B'C' лежит на отрезке NQ и делит его пополам. В то же время, центр Q1 вписанной окружности треугольника A1B1C1 лежит на продолжении отрезка QM за точку M, причём Q1 = QM, а т.к. MN = 2MQ, то Q1 — также середина NQ. Что и требовалось доказать.
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|