В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку правильной, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

   Решение

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся два, разность которых делится на десять.

Решение

Числа при делении на 10 могут давать десять остатков от 0 до 9. Так как дано 11 чисел, то обязательно существует, по крайней мере, два числа (можно использовать признак Дирихле), имеющие равные остатки — эти числа имеют вид a = 10k + r и b = 10n + r, тогда a − b = 10 (k − n).

Источники и прецеденты использования