ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102961
Тема:    [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 2+
Классы: 5,6
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки — деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти? Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?

Подсказка

Ответ «Из 9 заготовок можно сделать 9 деталей» неверен. Почему?

Решение

Из 9-ти заготовок можно на первом этапе получить 9 деталей, а из оставшихся стружек сделать 3 заготовки, на втором этапе — 3 детали, а из оставшихся стружек сделать 1 заготовку, на третьем — 1 деталь и останутся стружки на 1/3 заготовки. Итого, из 9-ти заготовок можно сделать 13 деталей.
Из 14-ти заготовок получим: 1) 12 деталей, 2 заготовки и стружки на 4 заготовки; 2) 6 деталей и стружки на 2 заготовки; 3) 2 детали и стружки на 2/3 заготовки. Итак, из 14-ти заготовок можно сделать 20 деталей.
Последний вопрос о 40 деталях решается подбором. Если 20 деталей мы получили из 14 заготовок, естественно предположить, что 40 деталей мы получим из 28-ми заготовок. Проверим это предположение.
Из 28-ми заготовок получим: 1) 27 деталей, 1 заготовку и стружки на 9 заготовок; 2) 9 деталей 1 заготовку и стружки на 3 заготовки; 3) 3 детали 2 заготовки и стружки на 1 заготовку; 4) 2 детали и стружки на 2/3 заготовки. Всего 41 деталь и стружки на 2/3 заготовки.
Мы получили много деталей, но не слишком. Если мы теперь проверим, что будет, если взять 27 заготовок, то убедимся, что в этом случае получится 40 деталей и стружки на 1/3 заготовки. Заметим, что всякий раз, когда мы из 3-х заготовок вытачиваем 3 детали, а из стружек выплавляем 1 новую заготовку, у нас число заготовок уменьшается на 2, а число деталей увеличивается на 3, т.е. 2 заготовки как бы превращаются в 3 детали. И такое превращение возможно до тех пор, пока не останется только 1 или 2 заготовки.
Значит, если заготовок четное число, то мы все их, кроме последних 2, постепенно превратим в детали. А из последних 2 выточим еще 2 детали и останется стружек на 2/3 заготовки, которые мы так и не сможем превратить в целую деталь (хотя по весу металла в них достаточно). Значит, из (2n + 2) заготовок выйдет 2n × (3/2) + 2 = (3n + 2) детали.
Если же число заготовок будет нечетным, то все их, кроме одной, мы превратим в детали. А из этой последней заготовки получим еще одну деталь и стружки на 1/3 заготовки, т.е. из (2n + 1) заготовок выйдет 2n × (3/2) + 1 = (3n + 1) деталь.
Отсюда, между прочим, следует, что, сколько бы мы ни взяли заготовок, число полученных нами деталей не может быть кратно 3.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения МЦНМО
класс
Класс 5
год
Год 2004/2005
занятие
Номер 5
задача
Номер 5.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .