Задача 103763
|
|
 |
Условие
Если у числа x подсчитать сумму цифр и с полученным числом повторить это ещё два раза, то получится ещё три числа. Найдите самое маленькое x, для которого все четыре числа различны, а последнее из них равно 2.
Подсказка
Если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b.
Решение
Докажем сначала, что если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b. Пусть B — наименьшее число с суммой цифр b. Если уменьшить на 1 любую ненулевую цифру числа B, то сумма цифр уменьшится ровно на 1 и само число тоже уменьшится. Значит, после нескольких (а именно, b - a) таких операций мы получим число, меньшее B, с суммой цифр, в точности равной a. Значит, и наименьшее число с суммой цифр, равной a, будет меньше, чем B. Теперь мы легко можем решить задачу. Наименьшее число с суммой цифр, равной 2, — это 11. Наименьшее число с суммой цифр, равной 11, — это 29, а наименьшее число с суммой цифр 29 — это 2999.
