ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103763
Тема:    [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Если у числа x подсчитать сумму цифр и с полученным числом повторить это ещё два раза, то получится ещё три числа. Найдите самое маленькое x, для которого все четыре числа различны, а последнее из них равно 2.


Подсказка

Если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b.


Решение

Докажем сначала, что если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b. Пусть B — наименьшее число с суммой цифр b. Если уменьшить на 1 любую ненулевую цифру числа B, то сумма цифр уменьшится ровно на 1 и само число тоже уменьшится. Значит, после нескольких (а именно, b - a) таких операций мы получим число, меньшее B, с суммой цифр, в точности равной a. Значит, и наименьшее число с суммой цифр, равной a, будет меньше, чем B. Теперь мы легко можем решить задачу. Наименьшее число с суммой цифр, равной 2, — это 11. Наименьшее число с суммой цифр, равной 11, — это 29, а наименьшее число с суммой цифр 29 — это 2999.


Ответ

 2999.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 1993
класс
1
Класс 5,6
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .