ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103798
Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?


Подсказка

Разность между числом и суммой его цифр делится на 9.


Решение

Разность между числом и суммой его цифр делится на 9. Поэтому все числа, которые мы получали, делились на 9 (кроме, может быть, исходного). Пойдём с конца. Нуль в принципе получается из любого однозначного натурального числа после вычитания из него суммы цифр. Но из них на 9 делится только 9. Поэтому на предпоследнем шаге у нас было число 9. Но 9 можно получить только из одного числа, делящегося на 9, – из 18. И так далее пока не дойдём до числа 81. Тут путь раздваивается – 81 можно получить и из 90, и из 99. Сделаем последний шаг назад (теперь делимость на 9 нам уже не важна!) – 90 ни из какого числа получить нельзя, а для 99 есть целых 10 возможных предшественников: 100, 101, 102, ..., 109.


Ответ

Любое число от 100 до 109.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 1995
класс
1
Класс 7
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .