Задача 103804

Темы:    [ Разные задачи на разрезания ] [ Пятиугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Условие

Автор: Ботин Д.А.

Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника
  а) какой-нибудь выпуклый пятиугольник,
  б) правильный пятиугольник.

Подсказка

б) Каждая сторона пятиугольника содержит сторону одного из треугольников. Все углы правильного пятиугольника тупые.

Решение

а) См. рисунок.

б) Каждая сторона пятиугольника содержит сторону одного из треугольников. У пятиугольника пять сторон, а треугольников у нас четыре. Значит, какие-то две стороны пятиугольника содержат стороны одного и того же треугольника. Следовательно, угол между этими сторонами тупой. Противоречие с тем, что все треугольники должны быть остроугольными.

Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1996
класс
	1
Класс	6
задача
Номер	5