Задача 103808

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7

Условие

Автор: Ковальджи А.К.

Найдите хотя бы две пары натуральных чисел, для которых верно равенство  2x³ = y⁴.

Подсказка

Заметив, что  (2, 2)  – решение, попробуйте найти ещё одно в виде  x = 2^k,  y = 2ⁿ.

Решение

  Заметим, что  x = 2,  y = 2  – решение. Попробуем найти ещё одно в виде  x = 2^k,  y = 2ⁿ.
  Имеем  2·(2^k)³ = (2ⁿ)⁴,  или  2^3k+1 = 2⁴ⁿ.
  Осталось подобрать k и n так, чтобы было выполнено равенство  3k + 1 = 4n.  Например,  k = 5,  n = 4  и, соответственно,  x = 32,  y = 16.

Ответ

(2, 2),  (32, 16).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1996
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	3