Задача 103930

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Решение

  Первый способ. Пусть вершина D' параллелограмма ABCD' лежит внутри четырёхугольника ABCD. Тогда  ∠BCA < ∠CAD  и  ∠BAC < ∠ACD.  Следовательно, точки пересечения противоположных сторон четырёхугольника ABCD лежат на продолжении отрезков AB и BC за точку B. Очевидно, что вершина с таким свойством в четырёхугольнике ровно одна (рис. слева).

           

  Второй способ. Пусть ABCD – исходный четырёхугольник, ABCD' – параллелограмм, лежащий в нем. Пусть лучи CD' и AD' пересекают стороны в точках C₁ и A₁. Тогда  S_ABC = S_ABD' = S_ABC1 < S_ABD,  аналогично  S_ABC < S_ACD.  Значит,   S_ABC < S_ABD + S_ACD – S_ABC = S_BCD,  то есть ABC – треугольник наименьшей площади, образованный тремя вершинами четырёхугольника. Наоборот, если он таковой, то на сторонах найдутся такие точки A₁ и C₁, что  S_ABC = S_ABC1 = S_A1BC,  и точка пересечения AA₁ и CC₁ будет искомой (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
класс
Класс	10
Задача
Номер	1