ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103941
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих сферу ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.


Решение

  Так как отрезки AA' и BB' пересекаются, прямые AB и A'B' тоже пересекаются или параллельны. Обозначим их точку пересечения (возможно, бесконечно удалённую) через P. Так как P лежит вне двугранного угла при ребре CD, плоскость CDP не пересекает вписанную сферу. Поэтому существует проективное преобразование, сохраняющее сферу и переводящее эту плоскость в бесконечно удалённую. В результате этого преобразования отрезок A'B' станет диаметром сферы, а AB будет ему параллелен. Так как точка пересечения AA' и BB' лежит на сфере, расстояние от её центра до AB равно удвоенному радиусу (на рис. слева показана проекция на плоскость ABA'B').

           
  Значит, угол между плоскостями ABC и ABD равен 60°, дуга большого круга, соединяющая C' и D' равна 120° и прямые, проходящие через C', D' и параллельные ABC, ABD, пересекаются на сфере (на рис. справа показана проекция на плоскость, перпендикулярную AB).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2005
класс
Класс 11
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .