Задача 103962

Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8 Название задачи: Задачи на олимпиаде.

Условие

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Решение

Не будем учитывать по одному школьнику, решивших по одной, две и три задачи. Тогда на остальных семерых приходится 35-1-2-3=29 задач. Если бы не было хотя бы одного школьника, решившего не менее пяти задач, то все семеро решили бы не более 7×4=28 задач. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	8
Кружок
Год	2005/2006
занятие
Дата	2005-10-01
Номер	1
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле (прочее)
задача
Номер	3