Задача 103995

Тема:    [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9 Название задачи: Делимость на 7.

Условие

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

Решение

Обозначим первую цифру нашего числа буквой a, вторую буквой b. По условию последняя цифра тоже равна a. Тогда наше число равно
100a + 10b + a = (98a + 7b) + 3(a + b).  Первое слагаемое делится на 7. Если второе слагаемое делится на 7, то и само число делится на 7. Обратно, если число делится на 7, то второе слагаемое  3(a + b)  делится на 7, следовательно, a + b делится на 7.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	8
Кружок
Год	2005/2006
занятие
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Признаки делимости (прочее)
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	4