|
|
 |
Условие
Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.
Решение
Предположим, что такой многочлен Q(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 существует.
Если a0 = 0, то Q(x) = x(anxn–1 + an–1xn–2 + ... + a1), следовательно, при простом p число Q(p) делится на p и больше p (поскольку степень Q больше 1), поэтому Q(p) – число составное.
Допустим, a0 ≥ 2. Обозначим через p некоторый простой делитель a0. Тогда Q(p) делится на p и больше p, значит, Q(p) – число составное. Таким образом, имеется единственная возможность: a0 = 1.
Если для любого простого p число Q(p) простое, то и число Q(Q(p)) является простым при любом простом p. Значит, свободный член многочлена Q(Q(x)) должен равняться 1. Однако, Q(Q(0)) = Q(1) = an + an–1 + ... + a1 + 1 > 1. Противоречие.
