Задача 105129
|
|
 |
Условие
Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению x4 – 2y² = 1.
Решение
Знаки x и y можно выбирать произвольно, поэтому будем искать только неотрицательные решения. Ясно, что x нечётно, x = 2t + 1. Тогда
x4 – 1 = (x – 1)(x + 1)(x² + 1) = 2t(2t + 2)(4t² + 4t + 2) = 2y². Теперь видно, что y чётно, y = 2u. t(t + 1)(2t(t+1) + 1) = u². Числа t, t + 1 и 2t(t + 1) + 1 неотрицательны и попарно взаимно просты, а их произведение – полный квадрат. Значит, каждое из них также является полным квадратом. Это возможно только при t = 0 (единственная пара последовательных полных квадратов – это 0 и 1). Тогда u = 0, x = ±1, y = 0.
Ответ
x = ±1, y = 0.
