Задача 105141

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Геометрическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.

Решение

  Пусть  n > 2000,  S_n = a₁ + ... + a_n  – сумма n первых членов и  d_na_n+1 = S_n.  Тогда  d_n+1a_n+2 = S_n+1 = S_n + a_n+1 = (d_n + 1)a_n+1.  Так как  a_n+2 > a_n+1,  то
d_n+1 < d_n + 1,  то есть  d_n+1 ≤ d_n  (это целые числа). Таким образом, последовательность d_n не возрастает. Достаточно доказать, что в этой последовательности каждое число d, кроме 1, может встретиться только конечное число раз.
  Пусть  d_n = d_n+1 = ... = d_n+k = d.  Согласно полученной выше формуле     Числа d и  d + 1  взаимно просты, а a_n+1 может делиться только на конечную степень d.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 7, 10-11 кл. – 5

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	2002
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1830
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	11
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	6