ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105146
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Раскраски ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8×8 так, чтобы в любом квадрате 3×3 было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 (вертикальном или горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?

Решение

Ответ: нельзя.

Решение. Предположим, что такая раскраска возможна. На всех рисунках не заштрихованы клетки, про которые выяснено, что они не закрашены; штриховкой обозначены клетки, про которые ещё не известно, закрашены они или нет; двойной штриховкой - заведомо закрашенные.


Рис. 11

Доску 8*8 можно разрезать на восемь прямоугольников 4×2, поэтому на ней ровно 8×4=32 закрашенные клетки.

Также её можно разрезать на четыре квадрата 3×3, три прямоугольника 4×2 и угловой квадратик 2×2 (рис. 11). В четырёх квадратах 3×3 и трёх прямоугольниках 4×2 уже 4×5+3×4=32 клетки, поэтому в угловом квадратике 2×2 не должно быть ни одной закрашенной клетки. Аналогично можно доказать, что и в остальных угловых квадратиках 2×2 нет закрашенных клеток.


Рис. 12

Доску без угловых квадратиков 2×2 можно разрезать на шесть прямоугольников 4×2 (рис. 12). Получаем, что всего на доске 6×4=24 закрашенные клетки. Противоречие.

Примечание. Доказав, что угловые квадратики 2×2 не закрашены, можно действовать и по-другому, например, так. Разместим на доске четыре квадрата 3×3 и два прямоугольника 4×2 как показано на рис. 13. На оставшееся место приходится 32-(4×5+2×4)=4 закрашенные клетки, и туда можно поместить два прямоугольника 4×2, перекрывающиеся по квадратику 2×2. В каждом из них четыре закрашенные клетки, и вместе у них четыре закрашенных клетки - значит, закрашено их пересечение, и угловой квадратик 2×2 должен быть полностью закрашен. Противоречие.

Приведём ещё одно решение. Покажем, что даже доску 6×6 нельзя раскрасить указанным в задаче образом. Так как её можно разрезать на четыре квадрата 3×3, в ней должно быть ровно 4×5=20 закрашенных клеток. Разрежем её на четыре прямоугольника 4×2 и квадратик 2×2 (рис. 14). В этих прямоугольниках 4×4=16 клеток, значит в 2×2 сосредоточены остальные 20-16=4 клетки, т. е. все клетки в нём закрашены.


Рис. 13

Переложив четыре прямоугольника другим образом, можно то же самое доказать про квадратики 2×2 в других углах, а также про квадратик в центре (рис. 15). Остальные клетки должны быть незакрашенными, так как в каждом прямоугольнике 4×2 уже есть по четыре закрашенные клетки. Теперь легко указать квадрат 3×3, в котором всего четыре закрашенные клетки (рис. 16).
        
Рис 14. Рис 15. Рис 16.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .