Задача 105162

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Для положительных чисел x, y, z выполнено равенство  ^x²/_y + ^y²/_z + ^z²/_x = ^x²/_z + ^y²/_x + ^z²/_y.  Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между собой.

Решение

Равенство приводится к виду  x³z – x³y + z³y – z³x + y³x – y³z = 0.  Разложив на множители, получим  (x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z) = 0.  Последняя скобка положительна. Таким образом, хотя бы одна из первых трёх скобок равна нулю, то есть хотя бы два числа равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	66
Год	2003
вариант
Класс	11
задача
Номер	1