Задача 105202

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что n недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число n?

Решение

  Вычислим для каждой недели сумму Ваниных оценок за эту неделю. Посмотрим, как могла измениться сумма оценок на удачной неделе. Пусть оценки Вани ухудшились по x предметам. Тогда они улучшились хотя бы по  x + 2  предметам. Следовательно,  x + (x + 2) ≤ 7,  то есть  x ≤ 2.  Сумма оценок за те предметы, за которые оценки улучшились, возросла хотя бы на  x + 2,  а сумма оценок за те предметы, за которые оценки ухудшились, уменьшилась не более чем на 2x. Поскольку  x ≤ 2,  то  2x ≤ x + 2,  то есть уменьшилась она не больше чем увеличилась. Таким образом, сумма Ваниных оценок не уменьшается, причём сохраниться она может только если по двум предметам оценки ухудшились на 2, а по четырём улучшились на 1.
  Так как в итоге сумма оценок не увеличилась, а каждую неделю не уменьшалась, то она не изменялась всё время наблюдения за успеваемостью. Следовательно, понижение оценки происходит всякий раз на 2 балла, а повышение – на 1 балл, то есть для каждого предмета повышений оценки произошло в два раза больше, чем понижений. Таким образом, количество изменений каждой оценки кратно 3.
  Пусть Ваня наблюдал за своей успеваемостью n недель, не считая первой. Посмотрим, чему может быть равно n. Рассмотрим следующие случаи.
  1)  n = 3k . Ниже представлен пример изменений оценок Вани при  n = 3.  Повторяя последние три недели k раз, получим пример для  n = 3k.

  2) Пусть  n = 3k + 1.  Посмотрим на предмет, про который мы знаем, что оценка по нему менялась. Так как количество изменений оценки по этому предмету кратно 2, а  n = 3k + 1,  то была хотя бы одна неделя, на которой эта оценка не изменилась. В эту неделю все остальные оценки изменялись. Поэтому по всем предметам оценки когда-либо менялись, и значит, есть неделя (для каждого предмета – своя), когда оценка по этому предмету осталась без изменений. Поскольку предметов 7, число недель не может быть меньше семи. Ниже представлен пример изменений оценок Вани при  n = 7.  Добавляя по три недели из предыдущего случая, получим любое n вида  3k + 1,  большее семи.

  3)  n = 3k + 2.  Посмотрим на предмет, про который мы знаем, что оценка по нему менялась. Так как количество изменений оценки по этому предмету кратно 3, а  n = 3k + 2,  то было хотя бы две недели, на которых оценка по этому предмету не изменилась, а по остальным предметам оценка менялась. Аналогично предыдущему случаю для каждого предмета есть хотя бы две недели, на которых оценка по этим предметам не менялась, а по всем остальным менялась, поэтому число недель не может быть меньше, чем 14.
  Пример для  n = 14  строится двукратным повторением примера для  n = 7.  Далее, очевидно, можно добавлять по три недели из примера первого случая.

Ответ

n ∈ N \ {1, 2, 4, 5, 8, 11}.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	8
задача
Номер	6