Информация о задаче

Задача 105215

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии a₁, a₂,..., a₅, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos a₁, cos a₂, cos a₃, а также числа sin a₃, sin a₄ и sin a₅ в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.

Решение

Для искомой разности $\delta$ возрастающей прогрессии

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ ,..., $\displaystyle \alpha_{5}^{}$ $\displaystyle \in$ [0;3 $\displaystyle \pi$ /2]

получаем $\delta$ $\in$ (0; $\pi$ /2) и cos $\delta$ $\ne$ 1. Рассмотрим следующие два случая, один из которых непременно имеет место.

$\bullet$ $\alpha_{3}^{}$ $\le$ $\pi$ , тогда 0 $\le$ $\alpha_{1}^{}$ < $\alpha_{2}^{}$ < $\alpha_{3}^{}$ $\le$ $\pi$ и cos $\alpha_{1}^{}$ > cos $\alpha_{2}^{}$ > cos $\alpha_{3}^{}$ , откуда 2 cos $\alpha_{2}^{}$ = cos $\alpha_{1}^{}$ + cos $\alpha_{3}^{}$ = 2 cos ${\frac{\alpha _3+\alpha _1}{2}}$ cos ${\frac{\alpha _3-\alpha _1}{2}}$ = 2 cos $\alpha_{2}^{}$ cos $\delta$ , поэтому cos $\alpha_{2}^{}$ = 0 и $\alpha_{2}^{}$ = $\pi$ /2 (а значит, $\alpha_{3}^{}$ $\ge$ $\pi$ /2, т.е. имеет место также и 2-й случай).

$\bullet$ $\alpha_{3}^{}$ $\ge$ $\pi$ /2, тогда $\pi$ /2 $\le$ $\alpha_{3}^{}$ < $\alpha_{4}^{}$ < $\alpha_{5}^{}$ $\le$ 3 $\pi$ /2 и sin $\alpha_{3}^{}$ > sin $\alpha_{4}^{}$ > sin $\alpha_{5}^{}$ , откуда 2 sin $\alpha_{4}^{}$ = sin $\alpha_{3}^{}$ + sin $\alpha_{5}^{}$ = 2 sin ${\frac{\alpha _3+\alpha _5}{2}}$ cos ${\frac{\alpha _3-\alpha _5}{2}}$ = 2 sin $\alpha_{4}^{}$ cos $\delta$ , поэтому sin $\alpha_{4}^{}$ = 0 и $\alpha_{4}^{}$ = $\pi$ (а значит, $\alpha_{3}^{}$ $\le$ $\pi$ , т.е. имеет место также и 1-й случай).

Таким образом, оба случая имеют место, поэтому $\alpha_{2}^{}$ = $\pi$ /2 и $\alpha_{4}^{}$ = $\pi$ , откуда $\delta$ = $\pi$ /4.

Ответ

$\pi$ /4.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	11
задача
Номер	1