Задача 107619

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Длина высоты AB прямоугольной трапеции ABCD равна сумме длин оснований AD и BC. В каком отношении биссектриса угла B делит сторону CD.

Решение

  Докажем, что биссектриса угла ABC делит сторону DC пополам.
  Пусть O – середина стороны DC. Проведём через точки A и O прямую, пусть M – точка пересечения этой прямой с прямой BC. Тогда треугольники AOD и MOC будут равны по второму признаку, значит,  AO = OM,  AD = CM,  то есть треугольник ABM – равнобедренный. Но биссектриса при вершине равнобедренного треугольника является медианой и высотой, поэтому биссектриса угла B проходит через точку O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Дата	1996
Название	конкурс по математическим играм
Задача
Номер	2