Задача 107629

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 120°, точка D лежит на биссектрисе угла A, и  AD = AB + AC.  Докажите, что треугольник DBC – равносторонний.

Решение

  Отметим на отрезке AD такую точку К, что  AK = AB  (см. рис.). Тогда по условию  KD = AC.  Треугольник ABK является равносторонним, поскольку он имеет две равные стороны и один из углов 60°. Поэтому треугольники ABC и KBD равны по двум сторонам и углу между ними  (∠BAC = ∠BKD = 120°).  Значит,  ВС = BD  и  ∠DBK = ∠CBA.  Добавив к обеим частям последнего равенства угол KBC, получаем  ∠DBC = ∠KBA.  Итак, треугольник DBC – равнобедренный с углом 60° при вершине, значит, равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название	конкурс по математике
Год	1997
Задача
Номер	2