Задача 107677

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Таблица имеет форму квадрата со стороной длины n. В первой строчке таблицы стоит одно число – 1. Во второй – два числа – две двойки, в третьей – три четвёрки, и т.д.:

(здесь нарисован квадрат 4×4). В каждой следующей строчке стоит следующая степень двойки. Длина строчек сначала растёт, а затем убывает так, чтобы получился квадрат. Докажите, что сумма всех чисел таблицы есть квадрат некоторого целого числа.

Решение

(1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ) + (2 + 4 + ... + 2^{n + 1}) + ... + (2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ + ... + 2²ⁿ) =
      = (1 + 2 + ... + 2ⁿ) + 2(1 + 2 + ... + 2ⁿ) + ... + 2ⁿ(1 + 2 + ... + 2ⁿ) = (1 + 2 + ... + 2ⁿ)².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	1999
Название	конкурс по математике
Задача
Номер	6