Условие
Из точки
M внутри четырёхугольника
ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне
AB — через
X, лежащее на стороне
BC — через
Y, лежащее на стороне
CD — через
Z, лежащее на стороне
DA — через
T. Известно, что
AX ≥
XB,
BY ≥
YC,
CZ ≥
ZD,
DT ≥
TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника
ABCD можно описать окружность.
Решение
Из условия
AX ≥
XB следует
AM ≥
MB. Действительно, в двух треугольниках
AMX и
BMX с общим катетом гипотенуза длиннее у того, у которого длиннее второй катет. Аналогично получаем
BM ≥
MC,
CM ≥
MD,
DM ≥
MA. Это возможно только если во всех четырёх неравенствах выполняется равенство:
MA =
MB =
MC =
MD. Значит,
M — центр описанной вокруг четырёхугольника
ABCD окружности, что и доказывает требуемое.
Источники и прецеденты использования
