|
|
 |
Условие
Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Решение
Из условия AX ≥ XB следует AM ≥ MB. Действительно, в двух треугольниках AMX и BMX с общим катетом гипотенуза длиннее у того, у которого длиннее второй катет. Аналогично получаем BM ≥ MC, CM ≥ MD, DM ≥ MA. Это возможно только если во всех четырёх неравенствах выполняется равенство: MA = MB = MC = MD. Значит, M — центр описанной вокруг четырёхугольника ABCD окружности, что и доказывает требуемое.
