ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107701
Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AXXB, BYYC, CZZD, DTTA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Решение

Из условия AXXB следует AMMB. Действительно, в двух треугольниках AMX и BMX с общим катетом гипотенуза длиннее у того, у которого длиннее второй катет. Аналогично получаем BMMC, CMMD, DMMA. Это возможно только если во всех четырёх неравенствах выполняется равенство: MA = MB = MC = MD. Значит, M — центр описанной вокруг четырёхугольника ABCD окружности, что и доказывает требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2000
Название конкурс по математике
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .