ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107702
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Куб ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?

Решение

На рис. 1 показано, как отметить 7 клеток на трёх смежных гранях куба. На трёх "невидимых" гранях нужно отметить семь клеток, симметричных этим.
Докажем теперь, что больше 14 клеток требуемым образом отметить невозможно. Сделаем это двумя способами.
Первый способ. Посчитаем общее количество вершин клеток кубика Рубика. Имеются 8 вершин самого кубика, ещё по две вершины на каждом из 12 рёбер и ещё по 4 вершины на каждой из 6 граней. Итого:
8 + 12*2 + 6*4 = 56 вершин.
Каждая из этих вершин принадлежит по условию не более, чем одной отмеченной клетке. Если бы отмеченных клеток было больше 14, то вершин было бы больше, чем 14*4 = 56, поскольку каждая клетка имеет 4 вершины. Значит, отмеченных клеток не более 14.
Второй способ. Разрежем поверхность кубика Рубика на части. Три смежные грани разрежем на 7 частей, как показано на рис. 2. Три другие грани разрежем на такие же 7 частей. Легко видеть, что любые две клетки, попавшие в одну часть имеют общую вершину. Поэтому в каждой части может находиться не более одной отмеченной клетки. Значит, всего может быть отмечено не более 14 клеток.
 
Рис. 1 Рис. 2

Ответ

14 клеток.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2000
Название конкурс по математике
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .