ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107725
Темы:    [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ]
[ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны прямая и точка вне неё. Как с помощью циркуля и линейки построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку, проведя при этом возможно меньшее число линий (окружностей и прямых), так что последняя проведённая линия — это искомая прямая? Какого числа линий Вам удалось добиться?

Решение

Дана прямая а и точка О (обозначения). Отметим на прямой две произвольные точки А и В. Проведём окружность с центром в точке В радиуса АО, и окружность с центром в точке О радиуса АВ. Они пересекутся в точке X. Четырёхугольник АОХВ — параллелограмм, так как его противолежащие стороны равны. Теперь можно провести искомую прямую — ОХ.
Рис. 1
Излагая это же решение другими словами, можно сказать, что мы стандартным способом построили треугольник BOX по двум вершинам (В и О) и длинам двух сторон, равных длинам отрезков АО и АВ. Очевидно, что ΔАВО = ΔХОВ (по трём сторонам). Поэтому ugolАВО = ugolXOB, а это внутренние накрестлежащие углы для прямых а и ОХ и секущей ВО. Из равенства этих углов следует, что а и ОХ параллельны.
Другое решение. Отметим на прямой произвольную точку А и проведём через точку О окружность с центром в точке А. Эта окружность пересекает прямую в двух точках; обозначим их через М и N. Далее измерим (см. разъяснение в конце задачи) циркулем отрезок МО и проведём с центром в точке N окружность радиуса МО. Искомая прямая проходит через точку О и точку В пересечения двух построенных окружностей.
Рис. 2
ΔMАО = ΔNAB по трём сторонам, следовательно, равны и высоты этих треугольников, проведённые из вершин О и В. Основания этих треугольников (МА и NA) лежат на прямой а, поэтому точки О и В находятся от прямой а на одинаковом расстоянии.
Недостатком этого решения является то, что если точка А случайно оказалась основанием перпендикуляра, проведённого из точки О, то точки О и В совпадают и не определяют нужной нам прямой. На самом деле этот же недостаток "замаскирован" и в первом решении, в предложении "Отметим на прямой две произвольные точки А и В". Если точки произвольные, то они случайно могут совпасть (и тогда построение не получится), а для построения на прямой двух несовпадающих точек придётся проводить дополнительные линии.
Докажем теперь, что двумя линиями обойтись нельзя. Второй линией должна стать искомая прямая. Чтобы её провести, нужно получить вторую точку, находящуюся на том же расстоянии от прямой а, что и точка О. Но после проведения одной линии все точки этой линии, кроме точек пересечения с прямой а, будут неразличимы, и найти вторую точку, находящуюся на нужном расстоянии от прямой а, построив только одну линию, невозможно.
Пояснение. В решении мы упоминали параллелограмм, треугольники, секущую ВО и углы. Однако для построения нам были нужны только точки (вершины параллелограмма и треугольников, концы отрезка секущей, концы отрезков, образующих углы), сами же отрезки для построения нужны не были, поэтому мы их не проводили и, разумеется, не учитывали при подсчёте проведённых линий.

Разъяснение к задаче. В классических трудах по геометрии обсуждается вопрос о том, какие построения с помощью циркуля и линейки в принципе возможны, но не обсуждается число операций, необходимых для того или иного построения. Между тем, в этом вопросе могут возникнуть разночтения. Так, в классической книге "Начала" Эвклида считается невозможным измерить циркулем расстояние и перенести его для построения окружности с произвольным центром. Но в теореме 2 этой книги доказывается, что перенесение измеренного расстояния возможно, однако не за одно действие, а с помощью некоторого построения, выполняемого за несколько действий.
После этой теоремы можно забыть о том, как переносится расстояние — за одно действие или за несколько — если только речь идёт о принципиальной возможности построения, а не о числе необходимых построений.
В современных книгах по геометрии принято считать что никаких особых построений для перенесения расстояния не требуется. Так, в известном учебнике Погорелова сказано, что если даны центр и радиус, то окружность считается построенной. В данном случае задаче авторы исходят из этой точки зрения.

Ответ

3 линии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2002
Название конкурс по математике
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .