Задача 107738
|
|
 |
Условие
Отмечены четыре вершины квадрата. Отметьте ещё четыре точки так, чтобы на всех серединных перпендикулярах к отрезкам с концами в отмеченных точках лежало по две отмеченные точки.Решение
Идея решения. Надо ставить точки на серединные перпендикуляры к "старым отрезкам" так, чтобы на серединные перпендикуляры к "новым отрезкам" попадали старые точки. А именно, пусть в квадрате ABCD точка Е — середина стороны AD, а точка F — середина стороны CD. Постараемся поставить точку К на прямую EF так, чтобы серединный перпендикуляр к отрезку KА прошёл через одну из вершин исходного квадрата ABCD. Таких вариантов шесть.Из них первый и пятый варианты (K1 и K5) дают верный путь к одному из решений, третий и четвёртый варианты (K3 и K4) — ко второму решению. Эти решения получаются, если построить на сторонах квадрата равносторонние треугольники, соответственно наружу и внутрь.
На верхней части рисунка (вариант K1 и K5) отрезок K1А лежит на серединном перпендикуляре к стороне равностороннего треугольника с основанием АВ (это показано пунктирным поясняющим отрезком). К другому пунктирному отрезку, выходящему из точки А, серединным перпендикуляром является отрезок DK1. На нижней части рисунка (вариант K3 и K4) проведены пунктиром два поясняющих отрезка: AK3 и серединный перпендикуляр к нему, проходящий через точку В и ещё одну построенную точку, являющуюся вершиной равностороннего треугольника с основанием DC.
Расположение остальных серединных перпендикуляров очевидно.
Аккуратное доказательство того, что две предложенные конструкции действительно удовлетворяют условию задачи, не представляет никаких трудностей, но является немного длинным и не очень интересным, поэтому здесь не приводится (все необходимые идеи и пояснения даны выше).
Варианты расположения точки K2 и K6 к решению не приводят. Можно доказать, что других решений нет. Очевидно, что любое решение должно содержать по крайней мере одну из точек K1, K2, K3, K4, K5, K6. То есть достаточно убедиться, что точки K1, K2, K3, K4 не достраиваются ни до каких решений, кроме двух (уже приведённых выше), а точки K2 и K6 не содержатся ни в каком решении. Это доказательство здесь не приводится по вышеназванным причинам и не представляет существенных трудностей.
