Задача 107740

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Известно, что корни уравнения  x² + px + q = 0  – целые числа, а p и q – простые числа. Найдите p и q.

Решение

Пусть x₁ и x₂ – корни нашего квадратного трёхчлена. По условию  p и q – положительные числа, поэтому оба корня отрицательны. Так как корни целые, a q – простое, то один из корней (пусть x₁) равен –1. Отсюда  x₂ = – q,  –1 – q = – p,  то есть  p – q = 1.  Значит,  p и q – два простых числа, отличающиеся на 1. Такая пара чисел всего одна:  p = 3,  q = 2  (единственное чётное простое число).

Ответ

р = 3,  q = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название	конкурс по математике
Год	2003
Задача
Номер	6